CLEF/M

Lingua Insegnamento:

Italiano.
Testi di riferimento:
- S. Ross: Calcolo delle probabilità 3/ed, Apogeo, 2013.
- J. C. Hull: Opzioni, Futures e altri Derivati, 11/ed, Pearson, 2022.
- Note del corso e fogli di esercizi disponibili sul sito web della docente.
Obiettivi formativi:
Il corso si propone di introdurre gli strumenti matematici e probabilistici fondamentali per la valutazione dei derivati finanziari. La teoria della probabilità sarà sviluppata gradualmente e impiegata per illustrare semplici modelli finanziari e fornire le basi per affrontare i problemi connessi, con particolare attenzione alle applicazioni rilevanti per il risk management.
RISULTATI DI APPRENDIMENTO ATTESI
Ci si attende che lo studente:
- assimili in modo graduale i concetti fondamentali del Calcolo delle Probabilità, con particolare attenzione alle applicazioni in finanza;
- sappia utilizzare tali concetti per analizzare fenomeni aleatori e tradurli in semplici modelli di mercato;
- sappia formalizzare e risolvere problemi (problem solving) collegati alla valutazione di strumenti finanziari elementari;
- comprenda alcuni aspetti teorici di base e sappia esporli con chiarezza;
- sia in grado di svolgere alcune dimostrazioni matematiche significative nell’ambito del Calcolo delle Probabilità.
CONOSCENZE E CAPACITÀ DI COMPRENSIONE
Alla fine del corso lo studente dovrà aver acquisito i concetti fondamentali del Calcolo delle Probabilità e compreso come essi possano essere impiegati nella costruzione di modelli finanziari semplici e nella risoluzione dei problemi ad essi connessi.
AUTONOMIA DI GIUDIZIO
Alla fine del corso lo studente dovrà aver sviluppato la capacità di formalizzare problemi concreti di natura finanziaria e di utilizzare i principali strumenti probabilistici per affrontarli e proporre soluzioni adeguate.
CAPACITÀ COMUNICATIVE
Alla fine del corso lo studente dovrà essere in grado di sintetizzare ed esporre i concetti e i risultati teorici appresi, nonché motivare con chiarezza e rigore le scelte effettuate nella risoluzione dei problemi e nelle applicazioni finanziarie trattate.
Prerequisiti:

Conoscenze di base acquisite nei corsi di Matematica della Laurea Triennale.
Metodi didattici:

L’insegnamento è strutturato in 72 ore di didattica frontale, suddivise in lezioni teoriche ed esercitazioni con la correzione di esercizi assegnati dalla docente. Gli esercizi proposti dalla docente hanno lo scopo di verificare l’applicazione pratica degli argomenti visti a livello teorico. Cicli di seminari di approfondimento tenuti da esperti e professionisti potranno affiancare la didattica frontale. La frequenza è facoltativa, consigliata, e la prova finale sarà uguale per frequentanti e non.
Modalità di verifica dell'apprendimento:

La verifica della preparazione degli studenti prevede una prova scritta e una prova orale sugli argomenti trattati durante il corso. La prova scritta consisterà in esercizi con punteggi assegnati in base alla difficoltà e all’importanza delle domande. Il punteggio sarà espresso in trentesimi.
Chi supera la prova scritta con almeno 18/30 potrà sostenere la prova orale che consiste in domande sulle definizioni, gli enunciati, esempi e controesempi e alcune dimostrazioni indicate nel programma consuntivo del corso. Il punteggio finale terrà conto di entrambe le prove.
Sostenibilità:
Obiettivi Agenda 2030 per lo sviluppo sostenibile:

Questo insegnamento concorre alla realizzazione degli obiettivi ONU dell'Agenda 2030 per lo Sviluppo Sostenibile.
Altre Informazioni:

Ricevimento settimanale: lunedì, martedì e venerdì al termine delle lezioni (ore 13:00), oppure su appuntamento via e-mail. Il ricevimento si può anche svolgere in inglese.

Spazi di probabilita'. Elementi di calcolo combinatorio e spazi di probabilità finiti uniformi. Probabilità condizionata e indipendenza. Variabili aleatorie discrete e assolutamente continue. Coppie di variabili aleatorie discrete e congiuntamente assolutamente continue. Variabili aleatorie congiuntamente Gaussiane. Legge dei grandi numeri, teorema del limite centrale.

Spazi di probabilità: eventi, operazioni tra eventi, proprietà della probabilità, sigma-algebra di eventi. Esempi in finanza. Spazi di probabilità uniformi. Calcolo combinatorio: permutazioni, disposizioni, combinazioni, coefficienti binomiali. Estrazioni da un’urna senza reinserimento.
Probabilità condizionata e sue proprietà, formula della probabilità totale. Teorema di Bayes. Eventi indipendenti a coppie e famiglie di eventi indipendenti. Estrazioni da un’urna con rimpiazzo. Prove Bernoulliane. Eventi condizionatamente indipendenti.
Variabili aleatorie discrete: densità discreta di probabilità e sue proprietà. Legge binomiale, ipergeometrica, geometrica, di Poisson. Modello binomiale per il prezzo e alberi binomiali. Funzioni di variabili aleatorie ed esempi finanziari.
Variabili aleatorie assolutamente continue: densità di probabilità e sue proprietà. Legge uniforme, esponenziale, Gaussiana.
Funzione di distribuzione e sue proprietà (anche per variabili aleatorie discrete). Calcolo della funzione di distribuzione e della densità di probabilità di una funzione di una variabile aleatoria assolutamente continua.
Valore atteso e sue proprietà. Valore atteso di una funzione di una variabile aleatoria discreta o continua. Varianza e sue proprietà. Trasformazione affine e standardizzazione di una variabile aleatoria Gaussiana. Quantili.
Leggi congiunte di due variabili aleatorie discrete e di due variabili aleatorie congiuntamente assolutamente continue: calcolo delle densità marginali, indipendenza. Calcolo della probabilità di eventi definiti da due variabili aleatorie. Densità della somma di due variabili aleatorie. Somma di due variabili aleatorie Gaussiane indipendenti. Densità di una combinazione lineare di n variabili aleatorie Gaussiane indipendenti.
Valore atteso di una funzione di due variabili aleatorie. Valore atteso della somma di n variabili aleatorie. Valore atteso del prodotto di due v.a. indipendenti. Covarianza e coefficiente di correlazione e loro proprietà. Indipendenza e scorrelazione. Varianza della somma di due variabili aleatorie. Varianza della somma di n variabili aleatorie.
Valore atteso condizionato e sue principali proprietà. Applicazioni finanziarie: valutazione risk-neutral e previsione ottima.
Densità discreta condizionata, per coppie di variabili aleatorie discrete. Densità condizionata, per coppie di variabili aleatorie congiuntamente assolutamente continue.
Legge debole dei grandi numeri. Teorema del limite centrale. Applicazione ai rendimenti logaritmici.