CLEF/M

Lingua Insegnamento:

Italiano.
Testi di riferimento:

S. Ross: Calcolo delle probabilita 3/ed, Apogeo, 2013.
J. C. Hull: Opzioni, Futures e altri Derivati, 11/ed, Pearson, 2022.
Note del corso e fogli di esercizi disponibili sul sito web della docente.
Obiettivi formativi:

Il corso si propone di introdurre gli strumenti matematici e probabilistici fondamentali per la valutazione dei derivati finanziari. La teoria della probabilita sara sviluppata gradualmente e impiegata per illustrare semplici modelli finanziari e fornire le basi per affrontare i problemi connessi, con particolare attenzione alle applicazioni rilevanti per il risk management.
RISULTATI DI APPRENDIMENTO ATTESI
Ci si attende che lo studente:

assimili in modo graduale i concetti fondamentali del Calcolo delle Probabilita, con particolare attenzione alle applicazioni in finanza;

sappia utilizzare tali concetti per analizzare fenomeni aleatori e tradurli in semplici modelli di mercato;

sappia formalizzare e risolvere problemi (problem solving) collegati alla valutazione di strumenti finanziari elementari;

comprenda alcuni aspetti teorici di base e sappia esporli con chiarezza;

sia in grado di svolgere alcune dimostrazioni matematiche significative nell?ambito del Calcolo delle Probabilita.

CONOSCENZE E CAPACITA DI COMPRENSIONE
Alla fine del corso lo studente dovra aver acquisito i concetti fondamentali del Calcolo delle Probabilita e compreso come essi possano essere impiegati nella costruzione di modelli finanziari semplici e nella risoluzione dei problemi ad essi connessi.
AUTONOMIA DI GIUDIZIO
Alla fine del corso lo studente dovra aver sviluppato la capacita di formalizzare problemi concreti di natura finanziaria e di utilizzare i principali strumenti probabilistici per affrontarli e proporre soluzioni adeguate.
CAPACITA COMUNICATIVE
Alla fine del corso lo studente dovra essere in grado di sintetizzare ed esporre i concetti e i risultati teorici appresi, nonche motivare con chiarezza e rigore le scelte effettuate nella risoluzione dei problemi e nelle applicazioni finanziarie trattate.
Prerequisiti:

Conoscenze di base acquisite nei corsi di Matematica della Laurea Triennale.
Metodi didattici:

L?insegnamento e? strutturato in 72 ore di didattica frontale, suddivise in lezioni teoriche ed esercitazioni con la correzione di esercizi assegnati dalla docente. Gli esercizi proposti dalla docente hanno lo scopo di verificare l?applicazione pratica degli argomenti visti a livello teorico. Cicli di seminari di approfondimento tenuti da esperti e professionisti potranno affiancare la didattica frontale. La frequenza e? facoltativa, consigliata, e la prova finale sara? uguale per frequentanti e non.
Modalità di verifica dell'apprendimento:

La verifica della preparazione degli studenti prevede una prova scritta e una prova orale sugli argomenti trattati durante il corso. La prova scritta consistera in esercizi con punteggi assegnati in base alla difficolta e all?importanza delle domande. Il punteggio sara espresso in trentesimi.
Chi supera la prova scritta con almeno 18/30 potra sostenere la prova orale che consiste in domande sulle definizioni, gli enunciati, esempi e controesempi e alcune dimostrazioni indicate nel programma consuntivo del corso. Il punteggio finale terra conto di entrambe le prove.
Sostenibilità:
Obiettivi Agenda 2030 per lo sviluppo sostenibile:

Questo insegnamento concorre alla realizzazione degli obiettivi ONU dell'Agenda 2030 per lo Sviluppo Sostenibile.
Altre Informazioni:

Ricevimento settimanale: lunedi, martedi e venerdi al termine delle lezioni (ore 13:00), oppure su appuntamento via e-mail. Il ricevimento si puo anche svolgere in inglese.

Spazi di probabilita'. Elementi di calcolo combinatorio e spazi di probabilita finiti uniformi. Probabilita condizionata e indipendenza. Variabili aleatorie discrete e assolutamente continue. Coppie di variabili aleatorie discrete e congiuntamente assolutamente continue. Variabili aleatorie congiuntamente Gaussiane. Legge dei grandi numeri, teorema del limite centrale.

Spazi di probabilita: eventi, operazioni tra eventi, proprieta della probabilita, sigma-algebra di eventi. Esempi in finanza. Spazi di probabilita uniformi. Calcolo combinatorio: permutazioni, disposizioni, combinazioni, coefficienti binomiali. Estrazioni da un?urna senza reinserimento.
Probabilita condizionata e sue proprieta, formula della probabilita totale. Teorema di Bayes. Eventi indipendenti a coppie e famiglie di eventi indipendenti. Estrazioni da un?urna con rimpiazzo. Prove Bernoulliane. Eventi condizionatamente indipendenti.
Variabili aleatorie discrete: densita discreta di probabilita e sue proprieta. Legge binomiale, ipergeometrica, geometrica, di Poisson. Modello binomiale per il prezzo e alberi binomiali. Funzioni di variabili aleatorie ed esempi finanziari.
Variabili aleatorie assolutamente continue: densita di probabilita e sue proprieta. Legge uniforme, esponenziale, Gaussiana.
Funzione di distribuzione e sue proprieta (anche per variabili aleatorie discrete). Calcolo della funzione di distribuzione e della densita di probabilita di una funzione di una variabile aleatoria assolutamente continua.
Valore atteso e sue proprieta. Valore atteso di una funzione di una variabile aleatoria discreta o continua. Varianza e sue proprieta. Trasformazione affine e standardizzazione di una variabile aleatoria Gaussiana. Quantili.
Leggi congiunte di due variabili aleatorie discrete e di due variabili aleatorie congiuntamente assolutamente continue: calcolo delle densita marginali, indipendenza. Calcolo della probabilita di eventi definiti da due variabili aleatorie. Densita della somma di due variabili aleatorie. Somma di due variabili aleatorie Gaussiane indipendenti. Densita di una combinazione lineare di n variabili aleatorie Gaussiane indipendenti.
Valore atteso di una funzione di due variabili aleatorie. Valore atteso della somma di n variabili aleatorie. Valore atteso del prodotto di due v.a. indipendenti. Covarianza e coefficiente di correlazione e loro proprieta. Indipendenza e scorrelazione. Varianza della somma di due variabili aleatorie. Varianza della somma di n variabili aleatorie.
Valore atteso condizionato e sue principali proprieta. Applicazioni finanziarie: valutazione risk-neutral e previsione ottima.
Densita discreta condizionata, per coppie di variabili aleatorie discrete. Densita condizionata, per coppie di variabili aleatorie congiuntamente assolutamente continue.
Legge debole dei grandi numeri. Teorema del limite centrale. Applicazione ai rendimenti logaritmici.